Question

15．已知函數f（x）=2sin$（ω\;x-\frac{π}{6}$）•cosω$x+\frac{1}{2}$（其中ω＞0）的最小正周期為π．
（Ⅰ） 求ω的值；
（Ⅱ） 將函數y=f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，再將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標不變，得到函數g（x）的圖象．求函數g（x）在[-π，π]上零點．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數的恒等變換化簡函數的解析式，在另一棟正弦函數的周期性，得出結論．
（Ⅱ）利用y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律求得函數g（x）的解析式，再利用正弦函數的零點，求得函數g（x）的零點．

解答 解：（Ⅰ）函數 $f（x）=2sin（ωx-\frac{π}{6}）•cosωx+\frac{1}{2}=\sqrt{3}sinωx•cosωx-{cos^2}ωx+\frac{1}{2}$
=$\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2ωx-\frac{1}{2}cos2ωx=sin（2ωx-\frac{π}{6}）$．
由最小正周期$T=\frac{2π}{2ω}=π$，得ω=1．
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知$f（x）=sin（2x-\frac{π}{6}）$，將函數f（x）的圖象向左平移$\frac{π}{6}$個單位，
得到圖象的解析式$h（x）=sin[2（x+\frac{π}{6}）-\frac{π}{6}]=sin（2x+\frac{π}{6}）$，
將所得圖象上各點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到$g（x）=sin（x+\frac{π}{6}）$．
由$x+\frac{π}{6}=kπ，k∈Z$，得$x=kπ-\frac{π}{6}$，
故當x∈[-π，π]時，函數g（x）的零點為$-\frac{π}{6}$和$\frac{5π}{6}$．

點評 本題主要考查三角函數的恒等變換及化簡求值，正弦函數的周期性，y=Asin（ωx+φ）的圖象變換規律，正弦函數的零點，屬于中檔題．