Question

5．已知函數f（x）=x²+2alnx．
（1）若函數f（x）的圖象在（2，f（2））處的切線斜率為l，求實數a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數f（x）的單調區間．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，計算f′（2），求出a的值即可；
（2）求出函數的導數，解關于導函數的方程，求出函數的單調區間即可．

解答 解：（1）f′（x）=2x+$\frac{2a}{x}$=$\frac{{2x}^{2}+2a}{x}$，
由已知f′（2）=1，解得：a=-3，
（2）函數f（x）的定義域為（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2（x+\sqrt{3}）（x-\sqrt{3}）}{x}$，
當x變化時，f′（x），f（x）的變化情況如下：

x	（0，$\sqrt{3}$）	$\sqrt{3}$	（$\sqrt{3}$，+∞）
f′（x）	-	0	+
f（x）	遞減	極小值	遞增

由上表可知，函數f（x）的單調遞減區間是（0，$\sqrt{3}$）；單調遞增區間是（$\sqrt{3}$，+∞）．

點評 本題考查了函數的單調性問題，考查導數的應用以及切線斜率問題，是一道中檔題．