Question

1．（ I）求${（{{x^2}-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^{10}}$的展開式中的常數項；
（Ⅱ）設${（{2x-\sqrt{3}}）^{10}}={a_0}+{a_1}x+{a_2}{x^2}+…+{a_{10}}{x^{10}}$，求（a₀+a₁+a₂+a₃+…+a₁₀）（a₀-a₁+a₂-a₃+…+a₁₀）．

Answer 1

分析 （ I）利用${（{{x^2}-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^{10}}$的展開式中的通項公式，通過x的冪指數為0，確定常數項求解即可；
（Ⅱ）利用賦值法，轉化求解表達式的值即可．

解答 （本題滿分12分）
解：（ I）通項${T_{r+1}}=C_{10}^r{（{x^2}）^{10-r}}{（{-\frac{1}{{2\sqrt{x}}}}）^r}={（{-\frac{1}{2}}）^r}C_{10}^r{x^{20-\frac{5}{2}r}}$----------------------（3分）
令20-$\frac{5r}{2}=0$，解得r=8，常數項${T_9}={（{-\frac{1}{2}}）^8}C_{10}^8=\frac{1}{256}×\frac{10×9}{2×1}=\frac{45}{256}$------------（6分）
（ II）$令x=-1，{a_0}-{a_1}+{a_2}-{a_3}+…+{a_{10}}={（{-2-\sqrt{3}}）^{10}}={（{2+\sqrt{3}}）^{10}}$------------（8分）
$令x=1，{a_0}={a_1}+{a_2}+{a_3}+…+{a_{10}}={（{2-\sqrt{3}}）^{10}}$----------------------------------（10分）
$（{{a_0}+{a_1}+{a_2}+…+{a_{10}}}）（{{a_0}-{a_1}-{a_3}+…+{a_{10}}}）={（{2-\sqrt{3}}）^{10}}{（{2+\sqrt{3}}）^{10}}={（{4-3}）^{10}}=1$-----------------------（12分）

點評 本題考查二項式定理的應用，考查計算能力．