Question

6．在如圖所示的幾何體中，四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，E、G、F分別為MB、PB、PC的中點．
（1）求證：平面EFG∥平面PMA；
（2）求證：平面EFG⊥平面PDC．

Answer 1

分析 （1）推導出EC∥PM，GF∥BC∥AD，由此能證明平面EFG∥平面PMA．
（2）推導出BC⊥DC，且BC⊥PD，由此能證明平面EFG⊥平面PDC．

解答 證明：（1）∵四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
E、G、F分別為MB、PB、PC的中點，
∴EC∥PM，GF∥BC∥AD，
∵PM與AD相交，EG∩GF=F，
PM，AD?平面PMA，EG，GF?平面EFG，
∴平面EFG∥平面PMA．
（2）∵四邊形ABCD是正方形，MA⊥平面ABCD，PD∥MA，
∴BC⊥DC，且BC⊥PD，
∵PD∩DC=D，∴BC⊥平面PDC，
∵G、F分別為PB、PC的中點，∴GF∥BC，
∴GF⊥平面PDC，
∵GF?平面EFG，∴平面EFG⊥平面PDC．

點評 本題考查面面平行、面面垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．