Question

16．已知：函數f（x）=2$\sqrt{3}{sin^2}$x+sin2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）的單調遞增區間；
（Ⅲ）把函數y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位，得到函數y=g（x）的圖象，求$g（\frac{π}{6}）$的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）利用三角函數恒等變換的應用化簡函數解析式為f（x）=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，進而利用周期公式即可計算得解．
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），即可解得f（x）的單調遞增區間．
（Ⅲ）利用函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規律可求$g（x）=2sinx+\sqrt{3}$，進而利用特殊角的三角函數值即可計算得解．

解答 （本題滿分為13分）
解：$f（x）=2\sqrt{3}{sin^2}x+sin2x$=$\sqrt{3}（1-cos2x）+sin2x$
=$sin2x-\sqrt{3}cos2x+\sqrt{3}$=$2sin（2x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$，…（3分）
（Ⅰ）$T=\frac{2π}{2}=π$；                                                  …（5分）
（Ⅱ）由$2kπ-\frac{π}{2}≤2x-\frac{π}{3}≤2kπ+\frac{π}{2}$（k∈Z），得$kπ-\frac{π}{12}≤x≤kπ+\frac{5π}{12}$（k∈Z），
則f（x）的單調遞增區間是$[kπ-\frac{π}{12}，kπ+\frac{5π}{12}]$（k∈Z）；                    …（8分）
（Ⅲ）函數y=f（x）的圖象上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變），得到函數$y=2sin（x-\frac{π}{3}）+\sqrt{3}$的圖象，
再把得到的圖象向左平移$\frac{π}{3}$個單位得到函數$y=2sinx+\sqrt{3}$的圖象，即$g（x）=2sinx+\sqrt{3}$，
則$g（\frac{π}{6}）=2sin\frac{π}{6}+\sqrt{3}=\sqrt{3}+1$．                  …（13分）

點評 本題主要考查了三角函數恒等變換的應用，周期公式，函數y=Asin（ωx+φ）的圖象變換的規律，特殊角的三角函數值以及正弦函數的圖象和性質，考查了轉化思想，屬于中檔題．