Question

5．已知函數f（x）=$\frac{1}{3}{x^3}-（{2m+1}）{x^2}+3m（{m+2}）x+1$，其中m為實數．
（Ⅰ）當m=-1時，求函數f（x）在[-4，4]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）求函數f（x）的單調遞增區間．

Answer 1

分析 （Ⅰ）把m=-1代入函數解析式，求出函數的導函數，得到函數的單調區間，求出極值，再求出f（-4）與f（4）的值，比較得答案；
（Ⅱ）求出函數的導函數并因式分解，然后分3m=m+2，3m＞m+2，3m＜m+2三類求得函數的單調遞增區間．

解答 解：（Ⅰ）當m=-1時，$f（x）=\frac{1}{3}{x^2}+{x^2}-3x+1$，f'（x）=x²+2x-3=（x+3）（x-1），…（1分）
當x＜-3或x＞1時，f'（x）＞0，f（x）單調遞增；
當-3＜x＜1時，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；…（2分）
∴當x=-3時，f（x）_極大值=10；當x=1時，$f{（x）_{極小值}}=-\frac{2}{3}$…（3分）
又$f（{-4}）=\frac{23}{3}$，$f（4）=\frac{79}{3}$，…（4分）
∴函數f（x）在[-4，4]上的最大值為$\frac{79}{3}$，最小值為$-\frac{2}{3}$，…（5分）；
（Ⅱ）f'（x）=x²-2（2m+1）x+3m（m+2）=（x-3m）（x-m-2），…（6分）
當3m=m+2，即m=1時，f'（x）=（x-3）²≥0，∴f（x）單調遞增；…（7分）
當3m＞m+2，即m＞1時，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0，可得x＜m+2或x＞3m；
∴此時f（x）的增區間為（-∞，m+2），（3m，+∞），…（9分）
當3m＜m+2，即m＜1時，由f'（x）=（x-3m）（x-m-2）＞0，可得x＜3m或x＞m+2；
∴此時f（x）的增區間為（-∞，3m），（m+2，+∞）．…（11分）
綜上所述：當m=1時，f（x）的增區間為（-∞，+∞）；
當m＞1時，f（x）的增區間為（-∞，m+2），（3m，+∞）；
當m＜1時，f（x）的增區間為（-∞，3m），（m+2，+∞）．…（12分）

點評 本題考查利用導數研究函數的單調性，考查了利用導數求函數在閉區間上的最值，體現了分類討論的數學思想方法，是中檔題．