Question

13．某工藝品廠要設計一個如圖Ⅰ所示的工藝品，現有某種型號的長方形材料如圖Ⅱ所示，其周長為4m，這種材料沿其對角線折疊后就出現圖Ⅰ的情況．如圖，ABCD（AB＞AD）為長方形的材料，沿AC折疊后AB'交DC于點P，設△ADP的面積為
S₂，折疊后重合部分△ACP的面積為S₁．
（Ⅰ）設AB=xm，用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）求面積S₂最大時，應怎樣設計材料的長和寬？
（Ⅲ）求面積（S₁+2S₂）最大時，應怎樣設計材料的長和寬？

Answer 1

分析 （Ⅰ）設AB=xm，利用△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y，結合PA²=AD²+DP²，即可用x表示圖中DP的長度，并寫出x的取值范圍；
（Ⅱ）利用基本不等式求面積S₂最大時，設計材料的長和寬；
（Ⅲ）求面積（S₁+2S₂），利用導數確定函數的單調性，即可得出最大時，設計材料的長和寬．

解答 解：（Ⅰ）由題意，AB=x，BC=2-x，
因為x＞2-x，故1＜x＜2．…（2分）
設DP=y，則PC=x-y，
因為△ADP≌△CB'P，故PA=PC=x-y，
由PA²=AD²+DP²，得（x-y）²=（2-x）²+y²，$y=2（{1-\frac{1}{x}}），1＜x＜2$．…（4分）
（Ⅱ）記△ADP的面積為S₂，則${S_2}=（{1-\frac{1}{x}}）（{2-x}）$…（5分）
=$3-（{x+\frac{2}{x}}）≤3-2\sqrt{2}$，
當且僅當$x=\sqrt{2}∈（{1，2}）$時，S₂取得最大值．…（7分）
故當材料長為$\sqrt{2}m$，寬為$（{2-\sqrt{2}}）m$時，S₂最大．…（8分）
（Ⅲ）${S_1}+2{S_2}=\frac{1}{2}x（{2-x}）+（{1-\frac{1}{x}}）（{2-x}）=3-\frac{1}{2}（{{x^2}+\frac{4}{x}}）$，1＜x＜2．
于是$（{{S_1}+2{S_2}}）'=-\frac{1}{2}（{2x-\frac{4}{x^2}}）=\frac{{-{x^3}+2}}{x^2}=0$，∴$x=\root{3}{2}$．…（11分）
關于x的函數（S₁+2S₂）在$（{1，\root{3}{2}}）$上遞增，在$（{\root{3}{2}，2}）$上遞減，
所以當$x=\root{3}{2}$時，S₁+2S₂取得最大值．…（12分）
故當材料長為$\root{3}{2}$m，寬為$（{2-\root{3}{2}}）$m時，S₁+2S₂最大．…（13分）

點評 本題考查利用數學知識解決實際問題，考查基本不等式，導數知識的運用，確定函數的表達式是關鍵．