Question

2．已知向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$）與向量$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共線，其中A是△ABC的內(nèi)角．
（1）求角A的大�。�
（2）若BC=4，求△ABC的面積S的最大值，并判斷S取得最大值時△ABC的形狀．

Answer 1

分析 （1）根據(jù)平面向量共線定理，列出方程，利用三角恒等變換求出角A的值；
（2）由余弦定理和基本不等式求出△ABC面積S的最大值，并判斷S取最大值時△ABC是等邊三角形．

解答 解：（1）向量$\overrightarrow{m}$=（sinA，$\frac{1}{2}$）與向量$\overrightarrow{n}$=（3，sinA+$\sqrt{3}$cosA）共線，
∴sinA•（sinA+$\sqrt{3}$cosA）-$\frac{3}{2}$=0，…2分
∴$\frac{1-cos2A}{2}$+$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{3}{2}$=0，
即$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin2A-$\frac{1}{2}$cos2A=1，
即sin（2A-$\frac{π}{6}$）=1；…4分
又∵A∈（0，π），
∴2A-$\frac{π}{6}$∈（-$\frac{π}{6}$，$\frac{11π}{6}$），
∴2A-$\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，
解得A=$\frac{π}{3}$；…6分
（2）由余弦定理得：16=b²+c²-bc，
∴16+bc=b²+c²≥2bc，
即bc≤16（當(dāng)且僅當(dāng)b=c時取等號）；
∴△ABC的面積S=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{\sqrt{3}}{4}$bc≤4$\sqrt{3}$，
∴S的最大值是4$\sqrt{3}$，…9分
當(dāng)S取最大值時，b=c；
又∵A=$\frac{π}{3}$，
∴△ABC是等邊三角形．…12分

點(diǎn)評 本題考查了平面向量的共線定理與正弦、余弦定理的應(yīng)用問題，是中檔題．