Question

（1）已知正數a、b滿足a+b=1．求：

1

a

+

2

b

的最小值．
（2）若正實數x、y滿足x+y+3=xy，求xy的最小值．

Answer 1

分析：利用基本不等式的性質即可得出．

解答：解：（1）∵正數a+b=1，∴

1

a

+

2

b

=(a+b)(

1

a

+

2

b

)=3+

b

a

+

2a

b

≥3+2

b a × 2a b

=3+2

2

即為最小值，當且僅當a+b=1，

b

a

=

2a

b

，即a=

2

-1，b=2-

2

時取等號；
（2）∵正實數x、y滿足x+y+3=xy，∴xy≥3+2

xy

，化為(

xy

-3)(

xy

+1)≥0，∴

xy

≥3，即xy≥9，當且僅當x=y=3時取等號，∴xy的最小值為9．

點評：熟練掌握基本不等式的性質是解題的關鍵．注意“一正，二定，三相等”．