Question

（2013•石景山區二模）已知正數a，b，c滿足a+b=ab，a+b+c=abc，則c的取值范圍是

(1，

4

3

]

．

Answer 1

分析：由正數a，b，c滿足a+b=ab，利用基本不等式即可得出ab≥4．由a+b+c=abc，變形為c=1+

1

ab-1

即可得出．

解答：解：∵正數a，b，c滿足a+b=ab，∴ab≥2

ab

，化為

ab

(

ab

-2)≥0，
∴

ab

≥2，∴ab≥4，當且僅當a=b=2時取等號，∴ab∈[4，+∞）．
∵a+b+c=abc，∴ab+c=abc，∴c=

ab

ab-1

=

ab-1+1

ab-1

=1+

1

ab-1

．
∵ab≥4，∴1＜1+

1

ab-1

≤

4

3

，∴1＜1+

1

ab-1

≤

4

3

．
∴c的取值范圍是(1，

4

3

]．
故答案為(1，

4

3

]．

點評：恰當變形利用基本不等式的性質和不等式的基本性質是解題的關鍵．