Question

2．已知函數f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{|lo{g}_{4}（x+1）|，-1＜x＜1}\\{cos\frac{π}{3}x，1≤x≤6}\end{array}\right.$，若存在實數x₁，x₂，x₃，x₄，滿足x₁＜x₂＜x₃＜x₄，且f（x₁）=f（x₂）=f（x₃）=f（x₄），則$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$的取值范圍是（　　）

• A． （0，4）
• B． （0，$\frac{7}{4}$）
• C． （$\frac{1}{2}$，$\frac{9}{4}$）
• D． （$\frac{1}{4}$，$\frac{7}{8}$）

Answer 1

分析 由題意，可得-1＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜1.5，4.5＜x₄＜6，進而確定（x₁+1）（x₂+1）=1，x₃+x₄=6，則$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=x₃x₄-5=x₃（6-x₃）-5=-（x₃-3）²+4在（1，1.5）遞增，即可求出$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$的取值范圍．

解答 解：由題意，可得-1＜x₁＜0＜x₂＜1＜x₃＜1.5，4.5＜x₄＜6，
則|log₄（x₁+1）|=|log₄（x₂+1）|，即為-log₄（x₁+1）
=log₄（x₂+1），
可得（x₁+1）（x₂+1）=1，
由y=cos$\frac{π}{3}$x的圖象關于直線x=3對稱，可得x₃+x₄=6，
則$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$=x₃x₄-5=x₃（6-x₃）-5=-（x₃-3）²+4在（1，1.5）遞增，
即有$\frac{（{x}_{3}-1）（{x}_{4}-1）}{（{x}_{1}+1）（{x}_{2}+1）}$的取值范圍是（0，$\frac{7}{4}$）．
故選B．

點評 本題考查分段函數的運用，考查三角函數知識，考查配方法的運用，確定（x₁+1）（x₂+1）=1，x₃+x₄=6是關鍵．