Question

9．已知f（x+1）在偶函數，且f（x）在[1，+∞）單調遞減，若f（2）=0，則f（x）＞0的解集為（　　）

• A． （-1，1）
• B． （0，1）
• C． （1，2）
• D． （0，2）

Answer 1

分析 根據題意和偶函數的性質列出等式，由函數的對稱性求出f（x）的對稱軸，由f（x）的單調性和條件畫出示意圖，由圖求出不等式f（x）＞0的解集．

解答 解：∵f（x+1）在R上是偶函數，
∴f（-x+1）=f（x+1），則函數f（x）關于直線x=1對稱，
∵f（x）在[1，+∞）上單調遞減，且f（2）=0，
∴f（x）在（-∞，1]上單調遞增，f（0）=0，
畫出函數的示意圖：
由圖得，f（x）＞0的解集是（0，2），
故選D．

點評 本題考查函數的奇偶性，以及函數的對稱性的綜合應用，考查數形結合思想．