Question

12．已知函數f（x）=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）x³（a＞0，a≠1）．
（1）討論函數f（x）的奇偶性；
（2）求a的取值范圍，使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立．

Answer 1

分析 （1）由可推知f（-x）=f（x），從而可判斷函數f（x）的奇偶性；
（2）利用（1）知f（x）為偶函數，可知當x∈（0，+∞）時，x³＞0，從而可判知，要使f（x）+f（2x）＞0在其定義域上恒成立，只需當a＞1時即可．

解答 解：（1）定義域為（-∞，0）∪（0，+∞），
∵f（-x）=（$\frac{1}{{a}^{-x}-1}$+$\frac{1}{2}$）（-x）³=-（$\frac{{a}^{x}}{1-{a}^{2}}$+$\frac{1}{2}$）x³=（$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$）=f（x）
∴f（x）是偶函數．
（2）∵函數f（x）在定義域上是偶函數，
∴函數y=f（2x）在定義域上也是偶函數，
∴當x∈（0，+∞）時，f（x）+f（2x）＞0可滿足題意，
∵當x∈（0，+∞）時，x³＞0，
∴只需$\frac{1}{{a}^{x}-1}$+$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{（{a}^{x}）^{2}-1}$+$\frac{1}{2}$＞0，即$\frac{{a}^{2x}+{a}^{x}+1}{{a}^{2x}-1}$＞0，
∵a^2x+a^x+1＞0，
∴（a^x）²-1＞0，解得a＞1，
∴當a＞1時，f（x）+f（2x）＞0在定義域上恒成立．

點評 本題考查函數恒成立問題，考查函數單調性的判斷與證明，考查函數奇偶性的運用，突出轉化思想與分析法的應用，屬于中檔題．