Question

3．在三棱錐P-ABC中，AP=AB，平面PAB⊥平面ABC，∠ABC=90°，D，E分別為PB，BC的中點．
（1）求證：DE∥平面PAC；
（2）求證：DE⊥AD．

Answer 1

分析 （1）推導出DE∥PC，由此能證明DE∥平面PAC．
（2）推導出AD⊥PB，BC⊥AB，從而AD⊥BC，進而AD⊥平面PBC，由此能證明DE⊥AD．

解答 證明：（1）因為D，E分別為PB，BC的中點，
所以DE∥PC，…（2分）
又DE?平面PAC，PC?平面PAC，
故DE∥平面PAC．…（5分）
（2）因為AP=AB，PD=DB，所以AD⊥PB，…（7分）
因為平面PAB⊥平面ABC，平面PAB∩平面ABC=AB，
又BC⊥AB，BC?平面ABC，所以BC⊥平面PAB，…（10分）
因為AD?平面PAB，所以AD⊥BC，…（11分）
又PB∩BC=B，PB，BC?平面ABC，故AD⊥平面PBC，…（13分）
因為DE?平面PBC，所以DE⊥AD．…（14分）

點評 本題考查線面平行、線線垂直的證明，是中檔題，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．