Question

12．對部分4G手機用戶每日使用流量（單位：M）進行統計，得到如下記錄：

流量x	0≤x＜5	5≤x＜10	10≤x＜15	15≤x＜20	20≤x＜25	x≥25
頻率	0.05	0.25	0.30	0.25	0.15	0

將手機日使用的流量統計到各組的頻率視為概率，并假設每天手機的日流量相互獨立．
（Ⅰ）求某人在未來連續4天里，有連續3天的手機的日使用流量都不低于15M且另1天的手機日使用流量低于5M的概率；
（Ⅱ）用X表示某人在未來3天時間里手機日使用流量不低于15M的天數，求X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）設A₁表示事件“日使用流量不低于15M”，A₂表示事件“日使用流量低于5M”，B表示事件“在未來連續4天里有連續3天日使用流量不低于15M且另1天日使用流量低于5M”．由此能求出結果．
（Ⅱ）X可能取的值為0，1，2，3，X～B（3，0.4），由此能求出X的分布列和數學期望．

解答 解：（Ⅰ）設A₁表示事件“日使用流量不低于15M”，
A₂表示事件“日使用流量低于5M”，
B表示事件“在未來連續4天里有連續3天日使用流量不低于15M且另1天日使用流量低于5M”．則
P（A₁）=0.25+0.15=0.40，P（A₂）=0.05，
所以P（B）=0.4×0.4×0.4×0.05×2=0.0064．…（5分）
（Ⅱ）X可能取的值為0，1，2，3，相應的概率分別為：
P（X=0）=${C}_{3}^{0}•（1-0.4）^{3}=0.216$，
P（X=1）=${C}_{3}^{1}•0.4•（1-0.4）^{2}$=0.432，
P（X=2）=${C}_{3}^{2}•0．{4}^{2}•（1-0.4）=0.288$，
P（X=3）=${C}_{3}^{3}•0．{4}^{3}$=0.064．
X的分布列為

X	0	1	2	3
P	0.216	0.432	0.288	0.064

因為X～B（3，0.4），所以期望E（X）=3×0.4=1.2．…（12分）

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意二項分布的性質的合理運用．