Question

20．某校對數學、物理兩科進行學業水平考前輔導，輔導后進行測試，按照成績（滿分均為100分）劃分為合格（成績大于或等于70分）和不合格（成績小于70分）．現隨機抽取兩科各100名學生的成績統計如下：

成績（單位：分）	[50，60）	[60，70）	[70，80）	[80，90）	[90，100]
數學	8	12	40	32	8
物理	7	18	40	29	6

（1）試分別估計該校學生數學、物理合格的概率；
（2）設數學合格一人可以贏得4小時機器人操作時間，不合格一人則減少1小時機器人操作時間；物理合格一人可以贏得5小時機器人操作時間，不合格一人則減少2小時機器人操作時間．在（1）的前提下，
（i）記X為數學一人和物理一人共同贏得的機器人操作時間（單位：小時）總和，求隨機變量X的分布列和數學期望；
（ii）隨機抽取4名學生，求這四名學生物理考前輔導后進行測試所贏得的機器人操作時間不少于13小時的概率．

Answer 1

分析 （1）由等可能事件概率計算公式能求出數學合格率和物理合格率．
（2）（i）隨機事件X的取值為9，4，2，-3，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．
（ii）設這4名學生物理輔導后測試合格人數為n（n=0，1，2，3，4），則由題意得：5n-2（4-n）≥13，由此能求出這四名學生物理考前輔導后進行測試所贏得的機器人操作時間不少于13小時的概率．

解答 解：（1）數學合格率${p}_{1}=\frac{40+32+8}{100}=\frac{4}{5}$，….1
物理合格率p₂=$\frac{40+29+6}{100}$=$\frac{3}{4}$．…2
（2）（i）隨機事件X的取值為9，4，2，-3，
P（X=9）=$\frac{4}{5}×\frac{3}{4}=\frac{3}{5}$，….3
P（X=4）=（1-$\frac{4}{5}$）×$\frac{3}{4}$=$\frac{3}{20}$，…4
P（X=2）=$\frac{4}{5}×（1-\frac{3}{4}）$=$\frac{1}{5}$，…5
P（X=-3）=（1-$\frac{4}{5}$）×（1-$\frac{3}{4}$）=$\frac{1}{20}$，…6
X的分布列：

X	9	4	2	-3
P	$\frac{3}{5}$	$\frac{3}{20}$	$\frac{1}{5}$	$\frac{1}{20}$

EX=$9×\frac{3}{5}+4×\frac{3}{20}+2×\frac{1}{5}+（-3）×\frac{1}{20}$=$\frac{25}{4}$．…8
（ii）設這4名學生物理輔導后測試合格人數為n（n=0，1，2，3，4），
則由題意得：5n-2（4-n）≥13，解得n≥3，故n=3或n=4，…10
∴這四名學生物理考前輔導后進行測試所贏得的機器人操作時間不少于13小時的概率：
p=${C}_{4}^{3}（\frac{3}{4}）^{3}（1-\frac{3}{4}）+{C}_{4}^{4}（\frac{3}{4}）^{4}$=$\frac{189}{256}$．…12

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列和數學期望的求法，是中檔題，解題時要認真審題，在歷年高考中都是必考題型之一．