Question

12．若直角坐標平面內兩相異點A、B兩點滿足：
①點A、B都在函數 f （x） 的圖象上；②點A、B關于原點對稱，
則點對 （A，B） 是函數 f （x） 的一個“姊妹點對”．點對 （A，B） 與 （B，A） 可看作是同一個“姊妹點對”．已知函數 f （x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{x+1}{e}，x≥0}\end{array}\right.$，則 f （x） 的“姊妹點對”有（　　）

• A． 0 個
• B． 1 個
• C． 2 個
• D． 3 個

Answer 1

分析 設點A（x，y）（x＜0）在f（x）的圖象上，則點B（-x，-y）也在f（x）的圖象上，
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{-y=\frac{-x+1}{e}}\end{array}\right.$⇒ex²+（2e-1）x+1=0，令g（x）=ex²+（2e-1）x+1，判定方程ex²+（2e-1）x+1=0負實根個數即可．

解答 解：設點A（x，y）（x＜0）在f（x）的圖象上，則點B（-x，-y）也在f（x）的圖象上，
$\left\{\begin{array}{l}{y={x}^{2}+2x}\\{-y=\frac{-x+1}{e}}\end{array}\right.$⇒ex²+（2e-1）x+1=0，令g（x）=ex²+（2e-1）x+1，二次函數g（x）的對稱軸x=$\frac{2e-1}{-2e}＜0$，g（0）=1＞0，△=（2e-1）²-4e＞0，
∴方程ex²+（2e-1）x+1=0有兩個負實根，故函數 f （x）=$\left\{\begin{array}{l}{{x}^{2}+2x，x＜0}\\{\frac{x+1}{e}，x≥0}\end{array}\right.$，則 f （x） 的“姊妹點對”有2個．
故選：B．

點評 本題考查了學生對新定義的接受能力及導數的綜合應用，同時考查了零點個數的判斷，屬于中檔題