Question

7．已知直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}$（t為參數），以坐標原點為極點，x軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$，則直線l與曲線C相交的弦長為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

Answer 1

分析 將直線l和曲線C化為普通方程，進而根據直線被圓所截得的弦長公式，可得答案．

解答 解：∵直線l的參數方程為$\left\{\begin{array}{l}{x=1+t}\\{y=3-2t}\end{array}$（t為參數），化為普通方程得：2x+y=5，即2x+y-5=0，
∵曲線C的極坐標方程為ρ=2$\sqrt{2}sin（θ+\frac{π}{4}）$=2sinθ+2cosθ，
∴ρ²=2ρsinθ+2ρcosθ，
把曲線C的極坐標方程化為普通方程得x²+y²=2x+2y，
即（x-1）²+（y-1）²=2，
圓心（1，1）到直線2x+y-5=0的距離為$\frac{2}{\sqrt{5}}$，
則弦長為2$\sqrt{2-\frac{4}{5}}$=$\frac{2\sqrt{30}}{5}$，
故答案為$\frac{2\sqrt{30}}{5}$．

點評 本題考查的知識點是直線的參數方程，圓的極坐標方程，直線與圓的位置關系，難度中檔．