Question

16．如圖，△AOB為等腰直角三角形，OA=1，OC為斜邊AB的高，點P在射線OC上，則$\overrightarrow{AP}•\overrightarrow{OP}$的最小值為（　　）

• A． -1
• B． -$\frac{1}{8}$
• C． -$\frac{1}{4}$
• D． -$\frac{1}{2}$

Answer 1

分析 根據平面向量的線性運算與數量積運算，設|$\overrightarrow{OP}$|=t，利用t表示$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$，求二次函數的最小值即可．

解答 解：由$\overrightarrow{AP}$=$\overrightarrow{OP}$-$\overrightarrow{OA}$，
設|$\overrightarrow{OP}$|=t，t≥0，
則$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$=${\overrightarrow{OP}}^{2}$-$\overrightarrow{OA}$•$\overrightarrow{OP}$
=t²-1×t×cos$\frac{π}{4}$
=t²-$\frac{\sqrt{2}}{2}$t
=${（t-\frac{\sqrt{2}}{4}）}^{2}$-$\frac{1}{8}$；
所以，當t=$\frac{\sqrt{2}}{4}$時，$\overrightarrow{AP}$•$\overrightarrow{OP}$取得最小值為-$\frac{1}{8}$．
故選：B．

點評 本題考查了平面向量的三角形法則，向量數量積的運算性質以及二次函數的單調性問題，是綜合性題目．