Question

2．已知函數f（x）=log_a（a^x-1），其中a＞0，且a≠1．
（1）求證：函數f（x）的圖象在y軸的一側；
（2）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）是函數f（x）的圖象上任意兩個不同的點，且x₁＜x₂，求證：y₁＜y₂．

Answer 1

分析 （1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，a＞1時，函數f（x）的圖象在y軸的右側；當0＜a＜1時，x＜0，函數f（x）的圖象在y軸的左側．所以函數f（x）的圖象在y軸的一側．
（2）由于x₁＜x₂，y₁-y₂=${log}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$，再分a＞1和0＜a＜1兩種情況分別進行討論，可證得結論．

解答 證明：（1）由a^x-1＞0得：a^x＞1，
當a＞1時，x＞0，即函數f（x）的定義域為（0，+∞），
此時函數f（x）的圖象在y軸的右側；
當0＜a＜1時，x＜0，即函數f（x）的定義域為（-∞，0），
此時函數f（x）的圖象在y軸的左側．
所以函數f（x）的圖象在y軸的一側；
（2）當x₁＜x₂時，y₁-y₂=${log}_{a}（{a}^{{x}_{1}}-1）$-${log}_{a}（{a}^{{x}_{2}}-1）$=${log}_{a}\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$
①當a＞1時，由（1）知0＜x₁＜x₂，
∴1＜a^x1＜a^x₂，
∴0＜a^x₁-1＜a^x₂-1，
∴0＜$\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$＜1，
∴y₁-y₂＜0，
②當0＜a＜1時，由（1）知x₁＜x₂＜0，
∴a^x₁＞a^x₂＞1，
∴a^x₁-1＞a^x₂-1＞0，
∴$\frac{{a}^{{x}_{1}}-1}{{a}^{{x}_{2}}-1}$＞1，
∴y₁-y₂＜0，
綜上可得：y₁＜y₂．

點評 本題考查對數函數的性質和綜合應用，解題時注意分類討論思想的合理應用．