Question

9．過三點A（1，3），B（4，2），C（1，-7）的圓M交于y軸于P、Q兩點．
（1）求線段PQ的長；
（2）動圓N的半徑為1，N在直線4x-3y+20=0上運動，判斷圓M和圓N能否有公共點，并說明理由．

Answer 1

分析 （1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，代入點的坐標，求出D，E，F，令x=0，即可得出結論；
（2）求出圓心到直線的距離，即可判斷．

解答 解：（1）設圓的方程為x²+y²+Dx+Ey+F=0，則$\left\{\begin{array}{l}{1+9+D+3E+F=0}\\{16+4+4D+2E+F=0}\\{1+49+D-7E+F=0}\end{array}\right.$，
∴D=-2，E=4，F=-20，
∴x²+y²-2x+4y-20=0，
令x=0，可得y²+4y-20=0，
∴y=-2±2$\sqrt{6}$，
∴|PQ|=4$\sqrt{6}$；
（2）x²+y²-2x+4y-20=0的圓心為（1，-2），半徑為5，圓心到直線4x-3y+20=0的距離為$\frac{|4+6+20|}{5}$=6=1+5，
∴圓M和圓N能外切．

點評 本題考查圓的方程，考查學生的計算能力，確定圓的方程是關鍵．