Question

過拋物線焦點F的直線交拋物線于A、B兩點，通過點A和拋物線頂點的直線交拋物線的準線于點D，求證：直線DB平行于拋物線的對稱軸．

Answer 1

考點：拋物線的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：設拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0）．設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．直線OA的方程為：y=

y1

x1

x=

y1

y 2 1 2p

x=

2p

y1

x，可得y_D=-

p2

y1

．設直線AB的方程為：my=x-

p

2

，與拋物線的方程聯立化為y²-2pm-p²=0，利用根與系數的關系可得y1y2=-p2．可得y_D=y₂．即可證明．

解答： 證明：設拋物線的標準方程為：y²=2px（p＞0）．
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
直線OA的方程為：y=

y1

x1

x=

y1

y 2 1 2p

x=

2p

y1

x，令x=-

p

2

，可得y_D=-

p2

y1

．
設直線AB的方程為：my=x-

p

2

，
聯立

my=x- p 2 y2=2px

，化為y²-2pm-p²=0，
∴y1y2=-p2．
∴y2=-

p2

y1

．
∴y_D=y₂．
∴直線DB平行于拋物線的對稱軸．

點評：本題考查了拋物線的標準方程及其性質、直線與拋物線相交問題轉化為方程聯立可得根與系數的關系，考查了平行線的判定，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．