Question

2．已知正項數列{a_n}中前n項和為S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$），求S_n及a_n．

Answer 1

分析 通過S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）及a_n=S_n-S_n-1寫出前幾項的值猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$并用數學歸納法證明即可．再求解S_n．

解答 解：依題意，a₁=$\frac{1}{2}$（a₁+$\frac{1}{{a}_{1}}$），
解得：a₁=1或a₁=-1（舍）；
a₂=S₂-a₁
=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$）-a₁
=$\frac{1}{2}$（a₂+$\frac{1}{{a}_{2}}$）-1，
解得：a₂=$\sqrt{2}$-1或a₂=-$\sqrt{2}$-1（舍）；
a₃=S₃-a₁-a₂
=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）-a₁-a₂
=$\frac{1}{2}$（a₃+$\frac{1}{{a}_{3}}$）-1-（$\sqrt{2}$-1），
解得：a₃=$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$或a₃=-$\sqrt{3}$-$\sqrt{2}$（舍）；
猜想：a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
下面用數學歸納法來證明：
①當n=1時，顯然成立；
②假設當n=k（k≥2）時，有a_k=$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$，
∴S_k=a₁+a₂+…+a_k
=1+（$\sqrt{2}$-1）+…+（$\sqrt{k}$-$\sqrt{k-1}$）
=$\sqrt{k}$，
∴a_k+1=S_k+1-S_k
=$\frac{1}{2}$（a_k+1+$\frac{1}{{a}_{k+1}}$）-$\sqrt{k}$，
整理得：a_k+1²+2$\sqrt{k}$•a_k+1-1=0，
解得：a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$或a_k+1=-$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$（舍），
即當n=k+1時，a_k+1=$\sqrt{k+1}$-$\sqrt{k}$；
由①、②可知，a_n=$\sqrt{n}$-$\sqrt{n-1}$．
S_n=$\frac{1}{2}$（a_n+$\frac{1}{{a}_{n}}$）=$\frac{1}{2}$（$\sqrt{n}-\sqrt{n-1}$+$\frac{1}{\sqrt{n}-\sqrt{n-1}}$）=$\sqrt{n}$．

點評 本題考查數列的通項，考查數學歸納法，注意解題方法的積累，屬于中檔題．