Question

7．已知橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是$\sqrt{3}$
（1）求橢圓C的方程；
（2）直線y=x+1交橢圓于A、B兩點(diǎn)，P為橢圓上的一點(diǎn)，求△PAB面積的最大值．

Answer 1

分析 （1）由橢圓的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是$\sqrt{3}$，列出方程組，求出a，b，由此能求出橢圓C的方程．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得|AB|=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，由P（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），求出點(diǎn)P到直線y=x+1的距離的最大值，由此能求出△PAB面積的最大值．

解答 解：（1）∵橢圓C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的離心率為$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，
短軸的一個(gè)端點(diǎn)到右焦點(diǎn)的距離是$\sqrt{3}$，
∴$\left\{\begin{array}{l}{e=\frac{c}{a}=\frac{\sqrt{6}}{3}}\\{a=\sqrt{3}}\end{array}\right.$，解得a=$\sqrt{3}$，c=$\sqrt{2}$，∴b=$\sqrt{3-2}$=1，
∴橢圓C的方程為$\frac{x^2}{3}+{y^2}=1$．
（2）聯(lián)立$\left\{\begin{array}{l}{\frac{{x}^{2}}{3}+{y}^{2}=1}\\{y=x+1}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=0}\\{y=1}\end{array}\right.$或$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{3}{2}}\\{y=-\frac{1}{2}}\end{array}\right.$，
∴A（0，1），B（-$\frac{3}{2}$，-$\frac{1}{2}$），∴|AB|=$\sqrt{（-\frac{3}{2}-0）^{2}+（-\frac{1}{2}-1）^{2}}$=$\frac{3}{2}\sqrt{2}$，
∵P為橢圓上的一點(diǎn)，∴P（$\sqrt{3}cosθ$，sinθ），
點(diǎn)P到直線y=x+1的距離d=$\frac{|\sqrt{3}cosθ-sinθ+1|}{\sqrt{2}}$=$\frac{|2sin（θ+120°）+1|}{\sqrt{2}}$，
∴當(dāng)θ=-30°時(shí)，點(diǎn)P到直線y=x+1的距離d取最大值$\frac{3\sqrt{2}}{2}$，
∴△PAB面積的最大值S=$\frac{1}{2}×\frac{3}{2}\sqrt{2}×\frac{3\sqrt{2}}{2}$=$\frac{9}{4}$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查橢圓方程的求法，考查三角形面積的最大值的求法，是中檔題，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意橢圓性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式的合理運(yùn)用．