Question

【題目】如圖，在五面體中，側面是正方形，是等腰直角三角形，點是正方形對角線的交點，且.

（1）證明：平面；

（2）若側面與底面垂直，求五面體的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】

（1）取的中點，連接、，證明四邊形為平行四邊形，可得出，再利用直線與平面平行的判定定理可證明出平面；

（2）取的中點，的中點，連接、、，將五面體分割為三棱柱和四棱錐，證明出底面和平面，然后利用柱體和錐體體積公式計算出兩個簡單幾何體的體積，相加可得出五面體的體積.

（1）取的中點，連接、，

側面為正方形，且，為的中點，

又為的中點，且，

且，，所以，四邊形為平行四邊形，.

平面，平面，平面；

（2）取的中點，的中點，連接、、，

四邊形為正方形，.

平面平面，平面平面，平面，

底面，

易知，，，

，

為中點，，，

平面，平面，，

，、平面，平面.

，平面，且，

，因此，.