Question

【題目】如圖，四邊形ABCD是平行四邊形，平面AED⊥平面ABCD，EF||AB，AB=2，BC=EF=1，AE=，DE=3，∠BAD=60，G為BC的中點.

（Ⅰ）求證：FG||平面BED；

（Ⅱ）求證：平面BED⊥平面AED；

（Ⅲ）求直線EF與平面BED所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）詳見解析（Ⅱ）詳見解析（Ⅲ）

【解析】

試題（Ⅰ）證明線面平行，一般利用線面平行判定定理，即從線線平行出發給予證明，而線線平行尋找與論證，往往結合平幾知識，如本題構造一個平行四邊形：取的中點為，可證四邊形是平行四邊形，從而得出（Ⅱ）面面垂直的證明，一般轉化為證線面垂直，而線面垂直的證明，往往需多次利用線面垂直判定與性質定理，而線線垂直的證明有時需要利用平幾條件，如本題可由余弦定理解出，即（Ⅲ）求線面角，關鍵作出射影，即面的垂線，可利用面面垂直的性質定理得到線面垂直，即面的垂線：過點作于點，則平面，從而直線與平面所成角即為.再結合三角形可求得正弦值

試題解析：（Ⅰ）證明：取的中點為，連接，在中，因為是的中點，所以且，又因為，所以且

，即四邊形是平行四邊形，所以，又平面，平面，所以平面.

（Ⅱ）證明：在中，，由余弦定理可，進而可得，即，又因為平面平面平面；平面平面，所以平面.又因為平面，所以平面平面.

（Ⅲ）解：因為，所以直線與平面所成角即為直線與平面所成角.過點作于點，連接，又因為平面平面，由（Ⅱ）知平面，所以直線與平面所成角即為.在中，，由余弦定理可得，所以，因此，在中，，所以直線與平面所成角的正弦值為