【題目】已知函數(shù)
.
（1）若
，證明：當
時，
；
（2）若
是
的極大值點，求正實數(shù)a的取值范圍.
【答案】（1）證明見解析；（2）
【解析】
（1）對函數(shù)求導
，則
，再令
，則
，得出導函數(shù)
的正負，可得出函數(shù)
的單調(diào)性，繼而判斷導函數(shù)
的正負，從而可得出函數(shù)
的單調(diào)性，可得證；
（2）分兩種情況
和，分別討論得出函數(shù)
的單調(diào)性，由已知可得出正實數(shù)a的取值范圍.
（1）由題知，，
令，則，
若，當
時，
，
所以在
上單調(diào)遞增，
所以
，所以在上單調(diào)遞增；
所以
.
（2）①若，由（1）知：在上單調(diào)遞增；
因此
不可能是
的極大值點.
②若，令
，
因為當
時，
，所以
即
在
上單調(diào)遞增.
又因為
，
，
因此存在
滿足：
，所以當
時，
，
所以
在
上單調(diào)遞減，
，
所以當
時，
；當
時，
；
所以在
上單調(diào)遞增；在
上單調(diào)遞減；
綜上，當是的極大值點時，.
靈星計算小達人系列答案
孟建平錯題本系列答案科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，平面α∩平面β＝l，A，C是α內(nèi)不同的兩點，B，D是β內(nèi)不同的兩點，且A，B，C，D直線l，M，N分別是線段AB，CD的中點．下列判斷正確的是（ ）
A.若AB
CD，則MNl
B.若M，N重合，則ACl
C.若AB與CD相交，且ACl，則BD可以與l相交
D.若AB與CD是異面直線，則MN不可能與l平行
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知橢圓C關(guān)于x軸、y軸都對稱，并且經(jīng)過兩點
，
（1）求橢圓C的離心率和焦點坐標；
（2）D是橢圓C上到點A最遠的點，橢圓C在點B處的切線l與y軸交于點E，求△BDE外接圓的圓心坐標.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】已知無窮集合A，B，且
，
，記
，定義：滿足
時，則稱集合A，B互為“完美加法補集”.
（Ⅰ）已知集合
，
.判斷2019和2020是否屬于集合
，并說明理由；
（Ⅱ）設(shè)集合
，
.
（ⅰ）求證：集合A，B互為“完美加法補集”；
（ⅱ）記
和
分別表示集合A，B中不大于n（
）的元素個數(shù)，寫出滿足
的元素n的集合.（只需寫出結(jié)果，不需要證明）
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】如圖，在四棱錐P-ABCD中，AB//CD，且
.
（1）證明：平面PAB⊥平面PAD；
（2）若PA=PD=AB=DC， 
，求二面角A-PB-C的余弦值.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某學校共有教職工120人，對他們進行年齡結(jié)構(gòu)和受教育程度的調(diào)查，其結(jié)果如下表：
本科 | 研究生 | 合計 | |
35歲以下 | 40 | 30 | 70 |
35-50歲 | 27 | 13 | 40 |
50歲以上 | 8 | 2 | 10 |
現(xiàn)從該校教職工中任取1人，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A.該教職工具有本科學歷的概率低于60％
B.該教職工具有研究生學歷的概率超過50％
C.該教職工的年齡在50歲以上的概率超過10％
D.該教職工的年齡在35歲及以上且具有研究生學歷的概率超過10％
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】某工廠預(yù)購軟件服務(wù)，有如下兩種方案：
方案一：軟件服務(wù)公司每日收取工廠60元，對于提供的軟件服務(wù)每次10元；
方案二：軟件服務(wù)公司每日收取工廠200元，若每日軟件服務(wù)不超過15次，不另外收費，若超過15次，超過部分的軟件服務(wù)每次收費標準為20元.
（1）設(shè)日收費為
元，每天軟件服務(wù)的次數(shù)為
，試寫出兩種方案中與的函數(shù)關(guān)系式；
（2）該工廠對過去100天的軟件服務(wù)的次數(shù)進行了統(tǒng)計，得到如圖所示的條形圖，依據(jù)該統(tǒng)計數(shù)據(jù)，把頻率視為概率，從節(jié)約成本的角度考慮，從兩個方案中選擇一個，哪個方案更合適？請說明理由.
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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標系
中，曲線
的參數(shù)方程為
（
為參數(shù)），以原點
為極點，
軸的正半軸為極軸建立極坐標系，曲線
的極坐標方程為
.
（Ⅰ）求的普通方程和的直角坐標方程；
（Ⅱ）若與交于
，
兩點，求
的值.
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