Question

【題目】已知無窮集合A，B，且，，記，定義：滿足時，則稱集合A，B互為“完美加法補集”.

（Ⅰ）已知集合，.判斷2019和2020是否屬于集合，并說明理由；

（Ⅱ）設集合，.

（ⅰ）求證：集合A，B互為“完美加法補集”；

（ⅱ）記和分別表示集合A，B中不大于n（）的元素個數，寫出滿足的元素n的集合.（只需寫出結果，不需要證明）

Answer 1

【答案】（Ⅰ），；見解析（Ⅱ）（ⅰ）見解析；（ⅱ）

【解析】

（Ⅰ）由a為奇數，b為偶數，可得為奇數，即可判斷2019和2020是否屬于集合；

（Ⅱ）（ⅰ）對于任意自然數p可表示為唯一一數組（，，，…，，…，），其中，1；，1，…，k，，使得，，1；，1，…，k，，考慮自然數p的個數即可得證；再證

，其中，1；，1；，1，…，k，，則.由反證法即可得證；

（ⅱ）考慮集合中元素為奇數，可為.

（Ⅰ）由，得是奇數，

當，時，，

所以，；

（Ⅱ）（ⅰ）首先證明：對于任意自然數p可表示為唯一一數組（，，，…，，…，），

其中，1；，1，…，k，，

使得，，1；，1，…，k，，

由于，

這種形式的自然數p至多有個，且最大數不超過.

由，1；，1，…，k，，每個都有兩種可能，

所以這種形式的自然數p共有個結果.

下證

，

其中，1；，1；，1，…，k，，則.

假設存在中，取i最大數為j，

則

，

所以不可能.

綜上，任意正整數p可唯一表示為

顯然，，

滿足，所以集合A，B互為“完美加法補集”.

（ⅱ）.