Question

7．已知一條曲線C在y軸右邊，C上每一點到點F（1，0）的距離減去它到y軸距離的差都是1．
（1）求曲線C的方程；
（2）是否存在整數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，都有|FA|²+|FB|²＜|AB|²？若存在，求出m的取值范圍；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析 （1）設P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點，列出方程求解即可．
（2）設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．設l的方程為x=λy+m，聯立$\left\{{\begin{array}{l}{x=λy+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$利用韋達定理，結合向量的數量積推出m²-6m+1＜4λ²，對任意實數λ，4λ²的最小值為0，轉化求解即可得到m的取值范圍．

解答 解：（1）設P（x，y）（x＞0）是曲線C上任意一點，
那么點P（x，y）滿足：$\sqrt{{{（x-1）}^2}+{y^2}}-x=1（x＞0）$，
化簡得y²=4x（x＞0）．
（2）設過點M（m，0）（m＞0）的直線l與曲線C的交點為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）．
設l的方程為x=λy+m，由$\left\{{\begin{array}{l}{x=λy+m}\\{{y^2}=4x}\end{array}}\right.$得y²-4λy-4m=0，△=16（λ²+m）＞0，
于是$\left\{{\begin{array}{l}{{y_1}+{y_2}=4λ}\\{{y_1}{y_2}=-4m}\end{array}}\right.$①，又$\overrightarrow{FA}=（{x_1}-1，{y_1}），\overrightarrow{FB}=（{x_2}-1，{y_2}）$，$\overrightarrow{FA}•\overrightarrow{FB}＜0?（{x_1}-1）（{x_2}-1）+{y_1}{y_2}={x_1}{x_2}-（{x_1}+{x_2}）+1+{y_1}{y_2}＜0$②，
又$x=\frac{y^2}{4}$，于是不等式②等價于$\frac{y_1^2}{4}•\frac{y_2^2}{4}+{y_1}{y_2}-（\frac{y_1^2}{4}+\frac{y_2^2}{4}）+1＜0?\frac{{{{（{y_1}{y_2}）}^2}}}{16}+{y_1}{y_2}-\frac{1}{4}[{（{y_1}+{y_2}）^2}-2{y_1}{y_2}]+1＜0$③，
由①式，不等式③等價于m²-6m+1＜4λ²④對任意實數λ，4λ²的最小值為0，
所以不等式④對于一切π成立等價于m²-6m+1＜0，即$3-2\sqrt{2}＜m＜3+2\sqrt{2}$．
由此可知，存在正數m，對于過點M（m，0）且與曲線C有兩個交點A，B的任一直線，
都有|FA|²+|FB|²＜|AB|²，且m的取值范圍為$（3-2\sqrt{2}，3+2\sqrt{2}）$．

點評 本題考查直線與拋物線的位置關系的應用，考查轉化思想以及計算能力．