Question

12．某科研所對新研發的一種產品進行合理定價，該產品按事先擬定的價格試銷得統計數據．

單價x（萬元）	8	8.2	8.4	8.8	8.6	9
銷量y（件）	90	84	83	75	80	68

（1）①求線性回歸方程y=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；②談談商品定價對市場的影響；
（2）估計在以后的銷售中，銷量與單價服從回歸直線，若該產品的成本為4.5元/件，為使科研所獲利最大，該產品定價應為多少？
（附：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$，$\overline{x}$=8.5，$\overline{y}$=80）

Answer 1

分析 （1）①根據公式求出$\widehat{b}$和$\widehat{a}$的值，求出回歸方程即可；②根據b的值判斷即可；（2）求出關于w的表達式，結合二次函數的性質求出w的最大值即可．

解答 解：（1）①依題意：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{{\sum_{i=1}^n{（{x_i}-\overline x）（{y_i}-\overline y）}}}{{\sum_{i=1}^n{{{（{x_i}-\overline x）}^2}}}}$=-20，
$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$-$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$=80+20×8.5=250，
∴回歸直線的方程為y=-20x+250；
②由于$\widehat{b}$=-20＜0，則x，y負相關，
故隨定價的增加，銷量不斷降低．
（2）設科研所所得利潤為w，設定價為x，
∴w=（x-4.5）（-20x+250）=-20x²+340x-1125，
∴當$x=\frac{340}{40}=8.5$時，w_max=320，
故當定價為8.5元時，w取得最大值．

點評 本題考查了回歸方程問題，考查二次函數的性質，是一道基礎題．