Question

【題目】設(shè)函數(shù)，，其中，是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)．

（1）若在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)，求的取值范圍；

（2）若，，函數(shù)與函數(shù)的圖象交于，，且線段的中點(diǎn)為，證明：．

Answer 1

【答案】（1）；（2）見解析.

【解析】

（1）求導(dǎo)，令，得出，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出的取值范圍，從而得解；

（2）根據(jù)題意，求出，然后利用分析法進(jìn)行證明即可.

（1）的定義域?yàn)?/span>，，

則在上存在兩個(gè)極值點(diǎn)等價(jià)于在上有兩個(gè)不等實(shí)根，

由，解得，

令，則，

令，則，

當(dāng)時(shí)，，故函數(shù)在上單調(diào)遞減，且，

所以，當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增，

當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減，

所以，是的極大值也是最大值，

所以，所以，

又當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，大于0且趨向于0，

要使在有兩個(gè)根，則；

（2）證明：，

由，得，則，

要證成立，

只需證，即，

即，

設(shè)，即證，

要證，只需證，

令，則，

所以在上為增函數(shù)，所以，即成立；

要證，只需證，

令，則，

所以在上為減函數(shù)，

所以，即成立；

所以成立，即成立.