Question

f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）在（-1，+∞）上單調遞減，則b的取值范圍是（　　）

A．（-∞，-1）

B．（-1，+∞）

C．（-∞，-1]

D．[-1，+∞）

Answer 1

分析：求出原函數的定義域，要使原函數在定義域內是單調減函數，則其導函數在定義域內恒小于等于0，原函數的導函數的分母恒大于0，
只需分析分子的二次三項式恒大于等于0即可，根據二次項系數大于0，且對稱軸在定義域范圍內，所以二次三項式對應的拋物線開口向上，只有其對應二次方程的判別式小于等于0時導函數恒小于等于0，由此解得b的取值范圍．

解答：解：由x+2＞0，得x＞-2，所以函數f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2）的定義域為（-2，+∞），
再由f（x）=-

1

2

x²+bln（x+2），得：f′(x)=-x+

b

x+2

=-

x2+2x-b

x+2

，
要使函數f（x）在其定義域內是單調減函數，則f′（x）在（-1，+∞）上恒小于等于0，
因為x+2＞0，
令g（x）=x²+2x-b，則g（x）在（-1，+∞）上恒大于等于0，
函數g（x）開口向上，且對稱軸為x=-1，
所以只有當△=2²+4×b≤0，即b≤-1時，g（x）≥0恒成立．
所以，使函數f（x）在其定義域內是單調減函數的b的取值范圍是（-∞，-1]．
故答案為：C

點評：本題考查了函數的單調性與導數之間的關系，一個函數在其定義域內的某個區間上單調減，說明函數的導函數在該區間內恒小于等于0．此題是中檔題．