Question

已知函數f（x）=

1

2

x²-alnx（a＞0）
（1）若a=2，求f（x）在（1，f（1））處的切線方程；
（2）若f（x）在區間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）利用導數的幾何意義求切線方程．（2）利用導數求出函數的極大值和極小值，利用f（x）在區間（1，e）上恰有兩個零點，求a的取值范圍．

解答：解：（1）a=2，f（x）=

1

2

x²-2lnx，f'（x）=x-

2

x

，f'（1）=-1，f（1）=

1

2

，
f（x）在（1，f（1））處的切線方程為2x+2y-3=0．
（2）由f′(x)=x-

a

x

=

x2-a

x

，
由a＞0及定義域為（0，+∞），令f'（x）=0得x=

a

，
①若

a

≤1，即0＜a≤1在（1，e）上，f'（x）＞0，f（x）在（1，e）上單調遞增，
因此，f（x）在區間[1，e]的最小值為f（1）=

1

2

．
②若1＜

a

＜e，即1＜a＜e²在（1，

a

）上，f'（x）＜0，f（x）單調遞減；在（

a

，e）上，f'（x）＞0，f（x）單調遞增，因此f（x）在區間[1，e]上的最小值為f(

a

)=

1

2

a(1-lna)．
③若

a

≥e，即a≥e²在（1，e）上，f'（x）＜0，f（x）在[1，e]上單調遞減，
因此f（x）在區間[1，e]上的最小值為f(e)=

1

2

e2-a．
綜上，當0＜a≤1時，fmin?(x)=

1

2

；當1＜a＜e²時，fmin(x)=

1

2

a(1-lna)；
當a≥e²時，fmin?(x)=

1

2

e2-a，
可知當0＜a≤1或a≥e²時，f（x）在（1，e）上是單調遞增或遞減函數，不可能存在兩個零點．
當1＜a＜e²時，要使f（x）在區間（1，e）上恰有兩個零點，則
∴

1 2 a(1-ln?a)＜0 f(1)= 1 2 ＞0 f(e)= 1 2 e2-a＞0

，即

a＞e a＜ 1 2 e2

，此時，e＜a＜

1

2

e2．
所以，a的取值范圍為（e，

1

2

e2）．

點評：本題主要考查導數的幾何意義，以及利用導數研究函數的性質，考查學生的運算能力．綜合性較強．