Question

已知函數f（x）=

1-x

ax

+lnx(a＞0)
（1）若函數f（x）在[1，+∞）上為增函數，求實數a的取值范圍；
（2）當a=1時，求f（x）在[

1

2

，2]上的最大值和最小值；
（3）當a=1時，求證對任意大于1的正整數n，lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

恒成立．

Answer 1

分析：（1）對函數f（x）進行求導，令導函數大于等于0在[1，+∞）上恒成立即可求出a的范圍．
（2）將a=1代入函數f（x）的解析式，判斷其單調性進而得到最大值和最小值．
（3）先判斷函數f（x）的單調性，令x=

n

n-1

代入函數f（x）根據單調性得到不等式ln

n

n-1

＞

1

n

，令n=1，2，…代入可證．

解答：解：（1）∵f（x）=

1-x

ax

+lnx
∴f′（x）=

ax-1

ax2

（a＞0）
∵函數f（x）在[1，+∞）上為增函數
∴f′（x）=

ax-1

ax2

≥0對x∈[1，+∞）恒成立，
∴ax-1≥0對x∈[1，+∞）恒成立，即a≥

1

x

對x∈[1，+∞）恒成立
∴a≥1
（2）當a=1時，f′（x）=

x-1

x2

，
∴當x∈[

1

2

，1）時，f′（x）＜0，故f（x）在x∈[

1

2

，1）上單調遞減；
當x∈（1，2]時，f′（x）＞0，故f（x）在x∈（1，2]上單調遞增，
∴f（x）在區間[

1

2

，2]上有唯一極小值點，故f（x）_min=f（x）_極小值=f（1）=0
又f（

1

2

）=1-ln2，f（2）=-

1

2

+ln2，f（

1

2

）-f（2）=

3

2

-2ln2=

lne3-ln16

2

∵e³＞16
∴f（

1

2

）-f（2）＞0，即f（

1

2

）＞f（2）
∴f（x）在區間[

1

2

，2]上的最大值f（x）max=f（

1

2

）=1-ln2．
綜上可知，函數f（x）在[

1

2

，2]上的最大值是1-ln2，最小值是0．
（3）當a=1時，f（x）=

1-x

x

+lnx，f′（x）=

x-1

x2

，
故f（x）在[1，+∞）上為增函數．
當n＞1時，令x=

n

n-1

，則x＞1，故f（x）＞f（1）=0
∴f（

n

n-1

）=

1- n n-1

n n-1

+ln

n

n-1

=-

1

n

+ln

n

n-1

＞0，即ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

＞

1

2

，ln

3

2

＞

1

3

，ln

4

3

＞

1

4

，…，ln

n

n-1

＞

1

n

∴ln

2

1

+ln

3

2

+ln

4

3

+…+ln

n

n-1

＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

∴lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

即對大于1的任意正整數n，都有lnn＞

1

2

+

1

3

+

1

4

+…+

1

n

．

點評：此題是個中檔題．本題主要考查用導數法研究函數的單調性，基本思路是：當函數為增函數時，導數大于等于零；當函數為減函數時，導數小于等于零，已知單調性求參數的范圍往往轉化為求相應函數的最值問題，體現了轉化的數學思想，很好的考查了學生的計算能力．