Question

已知函數f（x）=

1

2

x²+alnx（a∈R）．
（Ⅰ）若函數f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b，求a，b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，求a的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）函數f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b可知：f′(2)=2+

a

2

=1，f（2）=2+aln2=2+b，可解ab的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，則f′(x)=x+

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，分離變量可求a的范圍．

解答：解：（Ⅰ）已知函數f（x）=

1

2

x²+alnx，則導數f′(x)=x+

a

x

函數f（x）的圖象在x=2處的切線方程為y=x+b可知：
f′(2)=2+

a

2

=1，f（2）=2+aln2=2+b，解得a=-2，b=-2ln2
（Ⅱ）若函數f（x）在（1，+∞）上為增函數，
則f′(x)=x+

a

x

≥0在（1，+∞）上恒成立，分離變量得
a≥-x²，而（-x²）在x∈（1，+∞）恒小于-1，即得a≥-1
故a的取值范圍為：a≥-1．

點評：本題為導數與函數的綜合應用，正確理解在某點處的切線斜率即是改點的導數值是解決問題的關鍵，屬中檔題．