Question

一個身高1.8m的人，以1.2m/s的速度離開路燈，路燈高4.2m．
（1）求身影的長度y與人距路燈的距離x之間的關系；
（2）解釋身影長的變化率與人步行速度的關系；
（3）求x=3m時，身影長的變化率．

Answer 1

考點：導數的運算,變化的快慢與變化率

專題：導數的概念及應用

分析：（1）利用平行線分線段成比例定理，列出等式求出y；
（2）設離開路燈的時間為t，人步行速度為v，則x=vt，得到y=3vt，然后對x求導數，即可判斷身影長的變化率與人步行速度的關系；
（3）根據變化率的定義即可求出．

解答： 解：（1）設人距路燈的距離BO′=x，路燈高OO′=4.2m，BC=1.8，這時影長為AB=y，
如圖由平幾的知識可得，
∴

BC

OO′

=

AB

AO′

，
∴

1.8

4.2

=

y

y+x

，
即y=

3

4

x；
（2）設離開路燈的時間為t，人步行速度為v，則x=vt，
∴y=

3

4

vt，
由導數的意義知人影長度的變化速度v=y′（t）=

3

4

v（m/s），
∴身影長的變化率與人步行速度成正比；
（3）當x=3m時，y=

9

4

m，
∴

△y

△x

=

9 4 -0

3-0

=

3

4

∴x=3m時，身影長的變化率

3

4

．

點評：本題考查導數的物理意義，考查函數模型的構建，屬于中檔題