Question

2．已知正三棱錐P-ABC中所有頂點都在球O表面上，PA，PB，PC兩兩互相垂直，若三棱錐P-ABC體積是$\frac{4}{3}$，則球O的表面積是12π．

Answer 1

分析 由V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA×PB×PC$=$\frac{4}{3}$，得PA=PB=PC=2
正三棱錐P-ABC的外接球，就是以PA為棱長的正方體的外接球，故球的半徑為R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{3}$即可求得球O的表面積．

解答 解：正三棱錐P-ABC中，PA，PB，PC兩兩互相垂直，三棱錐P-ABC體積是$\frac{4}{3}$，則V=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×PA×PB×PC$=$\frac{4}{3}$，
∵PA=PB=PC，∴PA=PB=PC=2，
正三棱錐P-ABC的外接球，就是以PA為棱長的正方體的外接球，故球的半徑為R=$\frac{1}{2}×\sqrt{{2}^{2}+{2}^{2}+{2}^{2}}=\sqrt{3}$，
∴球O的表面積s=4πR²=12π，
故答案為：12π．

點評 本題給出三棱錐的三條側棱兩兩垂直，求它的外接球的表面積，著重考查了長方體對角線公式和球的表面積計算等知識，屬于基礎題．