Question

在△ABC中，若A+B=120°，則求證：

a

b+c

+

b

a+c

=1．

Answer 1

考點：正弦定理

專題：解三角形

分析：由A+B的度數求出C的度數，利用余弦定理列出關系式，把cosC的值代入，整理后兩邊加上ac+bc，兩邊結合分解因式后，兩邊除以（a+c）（b+c），變形即可得證．

解答： 證明：∵在△ABC中，A+B=120°，
∴C=60°，
由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab，
∴c²+ab=a²+b²，
∴c²+ab+ac+bc=a²+b²+ac+bc，
∴（c+a）（c+b）=a（a+c）+b（b+c），
∴1=

a(a+c)

(a+c)(b+c)

+

b(b+c)

(a+c)(b+c)

，
則

a

b+c

+

b

a+c

=1．

點評：此題考查了正弦定理，余弦定理，以及等式的性質，熟練掌握余弦定理是解本題的關鍵．