Question

已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0），F₁，F₂為左右焦點，點P（2，

3

）在橢圓C上，△F₁PF₂的重心為G，內心為I，且有

IG

=λ

F1F2

（λ為實數），則橢圓方程為（　　）

• A、

  x2

  8

  +

  y2

  6

  =1
• B、

  x2

  16

  +

  y2

  4

  =1
• C、

  x2

  9

  +

  5y2

  27

  =1
• D、

  x2

  10

  +

  y2

  5

  =1

Answer 1

考點：橢圓的簡單性質

專題：圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：在△F₁PF₂的重心為G，內心為I，由于點P（2，

3

）以及

IG

=λ

F1F2

（可得內心IG的縱坐標，最后利用三角形F₁PF₂的面積等于被內心分割的三個小三角形的面積之和建立a、b、c的等式，即可得到橢圓方程

解答：解：設點P距x軸的距離為

3

，因為IG∥F₁F₂，則點I距x軸的距離為

3

3

，連接F₁I，F₂I，PI，則S△F1PF2=

1

2

×|F1F2|×

3

=

1

2

×2c×

3

=

3

c，S△F1PF2=S△F1IF2+S△F1IP+S△F2IP=

1

2

×|F1F2|×

3

3

+

1

2

×(|PF1|+|PF2|)×

3

3

=(a+c)

3

3

，所以(a+c)

3

3

=

3

c，⇒a=2c⇒b=

3

c，所以

4

4c2

+

3

3c2

=1⇒c2=2，所以橢圓方程為

x2

8

+

y2

6

=1．
故選：A

點評：本題考查了橢圓的標準方程和幾何意義，重心坐標公式，三角形內心的意義及其應用