Question

過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的右焦點(diǎn)F（c，0）作圓x²+y²=b²的切線FQ（Q為切點(diǎn)）交橢圓于點(diǎn)P，當(dāng)點(diǎn)Q恰為FP的中點(diǎn)時(shí)，橢圓的離心率為（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  3

  2

• C、

  1

  2

• D、

  5

  2

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)

專題：圓錐曲線的定義、性質(zhì)與方程

分析：設(shè)直線FQ的方程為：y=k（x-c），利用直線與圓相切的性質(zhì)和點(diǎn)到直線的距離公式可得直線的斜率k，進(jìn)而得到切點(diǎn)Q的坐標(biāo)，利用中點(diǎn)坐標(biāo)可得點(diǎn)P的坐標(biāo)，代入橢圓的方程即可得出．

解答：解：如圖所示，
設(shè)直線FQ的方程為：y=k（x-c），
∵此直線與圓x²+y²=b²的相切于Q，
∴

|0-kc|

1+k2

=b，
解得k=-

b

c2-b2

，
聯(lián)立

y= -b c2-b2 (x-c) x2+y2=b2

，解得

x= b2 c y= b c2-b2 c

．
∵點(diǎn)Q是FP的中點(diǎn)，
∴

2b2 c =xP+c 2b c2-b2 c =yP

，解得xP=

2b2-c2

c

，yP=

2b c2-b2

c

，
∵點(diǎn)P在橢圓上，∴

(2b2-c2)2

a2c2

+

4b2(c2-b2)

b2c2

=1，
又b²=a²-c²，
化為9c²=5a²，
∴e=

c

a

=

5

3

．
故選：A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查了直線與圓相切的性質(zhì)、點(diǎn)到直線的距離公式、中點(diǎn)坐標(biāo)公式、點(diǎn)與橢圓的位置關(guān)系、橢圓的離心率計(jì)算公式等基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能方法，考查了推理能力和計(jì)算能力，屬于難題．