Question

7．設等差數列{a_n}的前n項和為S_n，已知a₃=24，S₁₁=0
（Ⅰ）求數列{a_n}的前n項和S_n；
（Ⅱ）設b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$，求數列{b_n}前n項和T_n的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）分別利用等差數列的通項公式及等差數列的前n項和的公式由a₃=24，S₁₁=0表示出關于首項和公差的兩個關系式，聯立即可求出首項與公差，利用等差數列的前n項和的公式即可表示出S_n；
（Ⅱ）求出數列{b_n}前n項和公式得到T_n是關于n的開口向下的二次函數，根據n為正整數，利用二次函數求最值的方法求出T_n的最大值即可．

解答 解：（Ⅰ）依題意有$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+2d=24}\\{11{a}_{1}+\frac{11×10}{2}d=0}\end{array}\right.$，
解之得$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}=40}\\{d=-8}\end{array}\right.$，∴S_n=$\frac{（40+48-8n）n}{2}$=-4n²+44n．
（Ⅱ）∵S_n=-4n²+44n
∴b_n=$\frac{{S}_{n}}{n}$=44-4n，
∴b_n+1-b_n=-4
∴{b_n}為等差數列，
∴T_n=$\frac{1}{2}$（40+44-4n）n=（42-2n）n=-2n²+42n=-2（n-$\frac{21}{2}$）²+$\frac{441}{2}$
故當n=10或n=11時，T_n最大，且T_n的最大值為220．

點評 此題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和的公式，靈活運用二次函數求最值的方法解決實際問題，是一道中檔題．