Question

17．已知雙曲線的中心在原點，焦點F₁、F₂在坐標軸上，離心率為$\sqrt{2}$，且過點M（4，-$\sqrt{10}$）．
（1）求雙曲線方程；
（2）若點N（3，m）在雙曲線上，求證：$\overrightarrow{NF}$₁•N$\overrightarrow{F}$₂=0．

Answer 1

分析 （1）e=$\sqrt{2}$，故可等軸設雙曲線的方程為x²-y²=λ（λ≠2），過點M（4，-$\sqrt{10}$），可得16-10=λ，即可求雙曲線方程；
（2）求出向量坐標，利用向量的數量積公式，即可證明結論．

解答 解：（1）∵e=$\sqrt{2}$，故可等軸設雙曲線的方程為x²-y²=λ（λ≠2），
∵過點M（4，-$\sqrt{10}$），∴16-10=λ，
∴λ=6．
∴雙曲線方程為x²-y²=6．
（2）證明：由（1）可知：在雙曲線中，a=b=$\sqrt{6}$，∴c=2$\sqrt{3}$．
∴F₁（-2$\sqrt{3}$，0），F₂（2$\sqrt{3}$，0）．
∴$\overrightarrow{N{F}_{1}}$=（-2$\sqrt{3}$-3，-m），
$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=（2$\sqrt{3}$-3，-m）．
∴$\overrightarrow{N{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=+m²=-3+m²．
∵N點在雙曲線上，∴9-m²=6，∴m²=3．
∴$\overrightarrow{N{F}_{1}}$•$\overrightarrow{N{F}_{2}}$=0．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查向量的數量積公式，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．