Question

10．已知a，b∈R⁺，且a≠b，設f（n）=aⁿ-bⁿ，且f（3）=f（2），求證：1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

Answer 1

分析 （1）由f（3）=f（2），再利用不等式的性質即可得出a+b＞1，使用分析法證明a+b＜$\frac{4}{3}$．

解答 證明：（1）先證a+b＞1，
∵f（3）=f（2），
∴a³-b³=a²-b²．即（a-b）（a²+ab+b²）=（a+b）（a-b），
∵a，b∈R⁺，且a≠b，
∴a+b=a²+ab+b²＜a²+2ab+b²=（a+b）²，
∴a+b＞1．
（2）再證a+b$＜\frac{4}{3}$，
要證：a+b＜$\frac{4}{3}$，
只須證：3（a+b）²＜4（a+b），
即證：3（a²+2ab+b²）＜4（a²+ab+b²），
即證：a²-2ab+b²＞0．
即證：（a-b）²＞0．
而（a-b）²＞0在a≠b時恒成立．
綜上所述，1＜a+b＜$\frac{4}{3}$．

點評 本題考查了不等式的證明方法，屬于基礎題．