Question

9．如圖在棱錐P-ABCD中，ABCD為矩形，PD⊥面ABCD，PB=2，PB與面PCD成45°角，PB與面ABD成30°角．
（1）在PB上是否存在一點E，使PC⊥面ADE，若存在確定E點位置，若不存在，請說明理由；
（2）當E為PB中點時，求二面角P-AE-D的余弦值．

Answer 1

分析 （1）法一：要證明PC⊥面ADE，只需證明AD⊥PC，通過證明$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}=0$即可，然后推出存在點E為PC中點．
法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D-XYZ，設$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}$，通過$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}$=0得到$λ=\frac{1}{2}$，即存在點E為PC中點．   
（2）由（1）知求出面ADE的法向量，面PAE的法向量，利用空間向量的數量積．求解二面角P-AE-D的余弦值．

解答 （1）法一：要證明PC⊥面ADE，易知AD⊥面PDC，即得AD⊥PC，故只需$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}=0$即可，
所以由$（\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE}）•\overrightarrow{PC}=0⇒\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PC}=0⇒|\overrightarrow{PE}|=1$，即存在點E為PC中點   …（6分）
法二：建立如圖所示的空間直角坐標系D-XYZ，由題意知PD=CD=1，$CE=\sqrt{2}$，設$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}$，∴$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}=λ（\sqrt{2}，1，-1）$，$\overrightarrow{PC}=（0，1，-1）$
由$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{PC}•（\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE）}=（0，1，-1）•（\sqrt{2}λ，λ，1-λ）=0$，得$λ=\frac{1}{2}$，
即存在點E為PC中點．                                          …（6分）
（2）由（1）知D（0，0，0），$A（\sqrt{2}，0，0）$，$E（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，P（0，0，1）$\overrightarrow{DA}=（\sqrt{2}，0，0）$，$\overrightarrow{DE}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，\frac{1}{2}）$，$\overrightarrow{PA}=（\sqrt{2}，0，-1）$，$\overrightarrow{PE}=（\frac{{\sqrt{2}}}{2}，\frac{1}{2}，-\frac{1}{2}）$
設面ADE的法向量為$\overrightarrow{n_1}=（{x_1}，{y_1}，{z_1}）$，面PAE的法向量為$\overrightarrow{n_2}=（{x_2}，{y_2}，{z_2}）$
由的法向量為$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DA}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$得，$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{x_1}=0\\ \sqrt{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+\frac{1}{2}{z_1}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow{n_1}=（0，1，-1）$
同理求得$\overrightarrow{n_2}=（1，0，\sqrt{2}）$所以$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_1}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•\overrightarrow{|{n_1}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
故所求二面角P-AE-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$．…（6分）

點評 本題考查二面角的平面角的求法，直線與平面垂直的判定定理的應用，考查空間想象能力以及計算能力．