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9.如圖在棱錐P-ABCD中,ABCD為矩形,PD⊥面ABCD,PB=2,PB與面PCD成45°角,PB與面ABD成30°角.
(1)在PB上是否存在一點E,使PC⊥面ADE,若存在確定E點位置,若不存在,請說明理由;
(2)當E為PB中點時,求二面角P-AE-D的余弦值.

分析 (1)法一:要證明PC⊥面ADE,只需證明AD⊥PC,通過證明$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}=0$即可,然后推出存在點E為PC中點.
法二:建立如圖所示的空間直角坐標系D-XYZ,設$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}$,通過$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}$=0得到$λ=\frac{1}{2}$,即存在點E為PC中點.   
(2)由(1)知求出面ADE的法向量,面PAE的法向量,利用空間向量的數量積.求解二面角P-AE-D的余弦值.

解答 (1)法一:要證明PC⊥面ADE,易知AD⊥面PDC,即得AD⊥PC,故只需$\overrightarrow{DE}•\overrightarrow{PC}=0$即可,
所以由$(\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE})•\overrightarrow{PC}=0⇒\overrightarrow{DP}•\overrightarrow{PC}+\overrightarrow{PE}•\overrightarrow{PC}=0⇒|\overrightarrow{PE}|=1$,即存在點E為PC中點   …(6分)
法二:建立如圖所示的空間直角坐標系D-XYZ,由題意知PD=CD=1,$CE=\sqrt{2}$,設$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}$,∴$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PB}=λ(\sqrt{2},1,-1)$,$\overrightarrow{PC}=(0,1,-1)$
由$\overrightarrow{PC}•\overrightarrow{DE}=\overrightarrow{PC}•(\overrightarrow{DP}+\overrightarrow{PE)}=(0,1,-1)•(\sqrt{2}λ,λ,1-λ)=0$,得$λ=\frac{1}{2}$,
即存在點E為PC中點.                                          …(6分)
(2)由(1)知D(0,0,0),$A(\sqrt{2},0,0)$,$E(\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,P(0,0,1)$\overrightarrow{DA}=(\sqrt{2},0,0)$,$\overrightarrow{DE}=(\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{1}{2},\frac{1}{2})$,$\overrightarrow{PA}=(\sqrt{2},0,-1)$,$\overrightarrow{PE}=(\frac{{\sqrt{2}}}{2},\frac{1}{2},-\frac{1}{2})$
設面ADE的法向量為$\overrightarrow{n_1}=({x_1},{y_1},{z_1})$,面PAE的法向量為$\overrightarrow{n_2}=({x_2},{y_2},{z_2})$
由的法向量為$\left\{\begin{array}{l}\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DA}=0\\ \overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{DE}=0\end{array}\right.$得,$\left\{\begin{array}{l}\sqrt{2}{x_1}=0\\ \sqrt{2}{x_1}+\frac{1}{2}{y_1}+\frac{1}{2}{z_1}=0\end{array}\right.$得$\overrightarrow{n_1}=(0,1,-1)$
同理求得$\overrightarrow{n_2}=(1,0,\sqrt{2})$所以$cosθ=\frac{{\overrightarrow{n_1}•\overrightarrow{n_1}}}{{|\overrightarrow{n_1}|•\overrightarrow{|{n_1}}|}}=-\frac{{\sqrt{3}}}{3}$
故所求二面角P-AE-D的余弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{3}$.…(6分)

點評 本題考查二面角的平面角的求法,直線與平面垂直的判定定理的應用,考查空間想象能力以及計算能力.

練習冊系列答案
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