Question

18．若0＜m＜n＜2，e為自然對數的底數，則下列各式中一定成立的是（　　）

• A． meⁿ＜ne^m
• B． meⁿ＞ne^m
• C． mlnn＞nlnm
• D． mlnn＜nlnm

Answer 1

分析 分別構造函數設f（x）=$\frac{lnx}{x}$，g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，利用導數判斷f（x），g（x）的單調性，根據單調性比較即可

解答 解：設f（x）=$\frac{lnx}{x}$，
∴f′（x）=$\frac{1-lnx}{{x}^{2}}$＞0在（0，2）上恒成立，
∴f（x）在（0，2）上單調遞增，
∴f（m）＜f（n），
∴$\frac{lnm}{m}$＜$\frac{lnn}{n}$，
即mlmn＞nlnm，
設g（x）=$\frac{{e}^{x}}{x}$，
∴g′（x）=$\frac{{e}^{x}（1-x）}{{x}^{2}}$，
∴g（x）在（0，1）上單調遞增，在（1，2）上單調遞減，
∵0＜m＜n＜2，
∴無法比較g（m）與g（n）的大小，
即無法判斷meⁿ與ne^m的大小，
故選：D

點評 本題考查了函數單調性的應用，關鍵是構造函數，屬于中檔題