Question

【題目】已知數列的首項，且，.

（1）證明：是等比數列；

（2）若，中是否存在連續三項成等差數列？若存在，寫出這三項，若不存在，請說明理由；

（3）若是遞減數列，求的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）不存在，理由見解析；（3）

【解析】

（1）利用等比數列的定義即可得證；

（2）由等差中項可得，再運算即可得解；

（3）由是遞減數列，則恒成立，再利用最值法即可得解.

解：（1）由，所以，

又，所以，

故數列是以為首項，2為公比的等比數列；

（2）當時，由（1）得，

所以，

設中存在連續三項成等差數列，

則，即，

化簡得：，又 ，即此方程無解，

故不存在連續三項成等差數列；

（3）由（1）得，

由是遞減數列，則，

即恒成立，

即恒成立，

又當時，取最小值，

即，又，

故的取值范圍為：.