Question

6．在△ABC中，三個內角A、B、C成等差數列，且cosA=$\frac{2}{3}$，則sinC=（　　）

• A． $\frac{-2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$
• B． $\frac{2\sqrt{3}+\sqrt{5}}{6}$
• C． $\frac{2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$
• D． $\frac{-2\sqrt{3}-\sqrt{5}}{6}$

Answer 1

分析 直接由等差數列的性質結合三角形內角和定理得B的值，利用同角三角函數基本關系式可求sinA，進而利用兩角和的正弦函數公式可求sinC的值．

解答 解：∵∠A、∠B、∠C成等差數列，
∴∠A+∠C=2∠B，
又∠A+∠B+∠C=π，
∴3∠B=π，則∠B=$\frac{π}{3}$．
∵cosA=$\frac{2}{3}$，可得：sinA=$\sqrt{1-co{s}^{2}A}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$，
∴sinC=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB=$\frac{\sqrt{5}}{3}$×$\frac{1}{2}$+$\frac{2}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\frac{\sqrt{5}+2\sqrt{3}}{6}$．
故選：B．

點評 本題主要考查了等差數列的性質，考查了同角三角函數基本關系式，兩角和的正弦函數公式，三角形內角和定理，是基礎題．