Question

11．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是矩形，點E、F分別是棱PC和PD的中點．
（1）求證：EF∥平面PAB；
（2）若AP=AD，且平面PAD⊥平面ABCD，證明：AF⊥平面PCD．

Answer 1

分析 （1）證明CD∥EF，AB∥CD，即可證明AB∥EF，利用線面平行的判定即可得解；
（2）利用平面PAD⊥平面ABCD，證明CD⊥AF，PA=AD，所以AF⊥PD，即可證明AF⊥平面PCD；

解答 （本題滿分為12分）
解：（1）證明：因為點E、F分別是棱PC和PD的中點，
所以CD∥EF．
因為底面ABCD是矩形，
所以AB∥CD．可得：AB∥EF，
又因為EF?平面PAB，AB?平面PAB，
所以EF∥平面PAB．…（6分）
（2）證明：在矩形ABCD中，CD⊥AD．
又因為平面PAD⊥平面ABCD，
且平面PAD∩平面ABCD=AD，
所以CD⊥平面PAD．
又AF?平面PAD，
所以CD⊥AF．
由點F是棱PD中點．
在△PAD中，因為PA=AD，所以AF⊥PD．
又因為PD∩CD=D，所以AF⊥平面PCD．…（12分）

點評 本題考查線面平行的性質，平面與平面垂直的性質，考查線面垂直，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．