Question

20．已知函數f（x）=$\frac{1}{2}{x^2}$+alnx-bx，a，b為實數．
（1）當b=0時，求函數f（x）的值域；
（2）當a=b=-1時，若a∈（1，e]，求證：對任意s，t∈[1，a]恒有|f（s）-f（t）|＜1．

Answer 1

分析 （1）求出函數的導數，通過討論a的范圍，求出函數的單調區間即可；
（2）問題轉化為證明$\frac{1}{2}$a²-alna-$\frac{1}{2}$＜1，記h（a）=$\frac{1}{2}$a²-alna-$\frac{3}{2}$，1＜a≤e，根據合適的單調性證明即可．

解答 解：（1）b=0時，f′（x）=x+$\frac{a}{x}$，x＞0，
a＞0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）的值域是R，
a=0時，f′（x）＞0，f（x）遞增，f（x）的值域是（0，+∞），
a＜0時，由f′（x）=x+$\frac{a}{x}$=0，得x=$\sqrt{-a}$，
故f（x）在（0，$\sqrt{-a}$）遞減，在（$\sqrt{-a}$，+∞）遞增，
故f（x）_min=-$\frac{a}{2}$+aln（$\sqrt{-a}$），f（x）的值域是[-$\frac{a}{2}$+aln$\sqrt{-a}$，+∞）；
（2）證明：∵對于任意x∈[1，a]，
f′（x）=$\frac{（x-a）（x-1）}{x}$≤0，
∴f（x）在[1，a]內單調遞減，
于是|f（s）-f（t）|≤f（1）-f（a）=$\frac{1}{2}$a²-alna-$\frac{1}{2}$，
要證|f（s）-f（t）|＜1，即證$\frac{1}{2}$a²-alna-$\frac{1}{2}$＜1，
記h（a）=$\frac{1}{2}$a²-alna-$\frac{3}{2}$，1＜a≤e，
則h′（a）=a-lna-1，h″（a）=1-$\frac{1}{a}$，
∵1＜a≤e，∴1-$\frac{1}{a}$＞0，∴h″（a）＞0，
∴當1＜a≤e時，h′（a）遞增，
又h′（1）=0，∴h′（a）＞0，
∴當1＜a≤e時，h（a）遞增，
∴h（a）_max=h（e）=$\frac{（e-3）（e+1）}{2}$＜0，
故命題成立．

點評 本題考查了函數的單調性、最值問題，考查導數的由應用以及分類討論思想、考查不等式的證明，是一道中檔題．