Question

5．某商場計劃在今年同時出售智能手機和變頻空調，兩種市場銷售情況很好（有多少就能賣多少）的新產品，
一次該商場要根據實際情況（如資金、勞動力（工資）等）準備好月資金工藝量，以使每月的總利潤達到最大，通過一個月的市場調查，得到銷售這兩種產品的有關數據如表：

資金	產品所需資金（百元/臺）		月資金供應量（百元）
	手機	空調
成本	40	30	600
勞動力（工資）	2	5	58
利潤	11	10

怎樣確定這兩種產品的月供應量，才能使每月的總利潤最大，總利潤的最大值是多少百元？

Answer 1

分析 利用已知條件找出約束條件與目標函數，準確地描畫可行域，再利用圖形目標函數的幾何意義求得滿足題設的最優解．

解答 解：設手機和空調的月供應量分別是x、y臺，總利潤是z百元，則z=11x+10y，
由題意有：$\left\{\begin{array}{l}{40x+30y≤600}\\{2x+5y≤58}\\{x，y∈{N}^{+}}\end{array}\right.$．由$\left\{\begin{array}{l}{4x+3y=60}\\{2x+5y=58}\end{array}\right.$，可得$\left\{\begin{array}{l}{x=9}\\{y=8}\end{array}\right.$即M（9，8）
由圖知：z=11x+10y直線y=-$\frac{11}{10}$x+$\frac{1}{10}$z，當直線經過M（9，8）時，縱截距最大．
這時z也取最大值z_max=11×9+10×8=179（百元）．
故當月供應量為手機9臺，空調8臺時，可獲得最大利潤179百元．

點評 用圖解法解決線性規劃問題時，分析題目的已知條件，找出約束條件和目標函數是關鍵，可先將題目中的量分類、列出表格，理清頭緒，然后列出不等式組（方程組）尋求約束條件，并就題目所述找出目標函數．判斷幾何意義，即可得到目標函數的最優解．